خلاصه فصل پنجم ریاضی سوم «محیط و مساحت» با تعریف دقیق محیط و مساحت، روش اندازهگیری دور شکل و سطح شکل، واحد سطح و سانتیمتر مربع، فرمولهای سادهی مستطیل و مربع، و نکتههای پرتکرار امتحانی برای مرور شب امتحان آماده شده است.
خلاصه فصل پنجم ریاضی سوم – محیط و مساحت
خط و پارهخط و اندازهگیری
←
محیط
←
اندازهی سطح و واحد سطح
←
سانتیمتر مربع
←
مساحت مستطیل و مربع
←
مساحت شکلهای ترکیبی.
در این فصل یاد میگیریم فقط پارهخط را میشود اندازه گرفت، چون دو سرِ مشخص دارد؛ اما خط دو سر ندارد و اندازهگیری شدنی نیست و نیمخط هم یک سر دارد و بیانتها ادامه دارد.
در نامگذاری پارهخطها، معمولاً دو نقطه را با حروف نشان میدهند و پارهخط بین آنها را همان نام میگذارند.
محیط یعنی طول مسیر بستهای که دور شکل میکشیم؛ برای پیدا کردن محیط، یا ضلعها را اندازه میگیریم و جمع میکنیم، یا اگر چند ضلع برابر باشد از ضرب استفاده میکنیم.
| تیپ سؤال | روش سریع | نمونهی نوشتن | نکته |
|---|---|---|---|
| محیط با اندازههای نوشتهشده | فقط جمع کن | \(۲+۴+۲+۴\) | از یک نقطه شروع کن و یک دور کامل برگرد. |
| محیط شکلهای پلهای و شکسته | همهی پارهخطها را جدا بنویس و جمع کن | اگر یک ضلع قرمز خواسته شد، از «کم کردن از جمع» هم میشود استفاده کرد | قطعهای را جا ننداز؛ هر گوشه یعنی یک تغییر جهت. |
| محیط شکل با ضلعهای مساوی | تعداد ضلعها × طول یک ضلع | \(۵×۶\) برای پنجضلعیِ با ضلع ۶ | وقتی همه ضلعها برابرند، ضرب از جمع سریعتر است. |
برای اندازهگیری دورِ شکلهای خمیده (مثل دور دهانهی لیوان)، میتوانیم نخ را دور شکل بگذاریم، نخ را صاف کنیم و با خطکش طول نخ را اندازه بگیریم؛ این روش جواب تقریبی میدهد.
مساحت یعنی اندازهی سطحِ داخل شکل؛ برای مقایسهی مساحت دو شکل میتوانیم یکی را روی دیگری بگذاریم یا با کاغذ شفاف رد بیندازیم و ببینیم کدام سطح بیشتر پوشانده میشود.
ممکن است دو شکل مساحت برابر داشته باشند ولی محیطشان برابر نباشد و برعکس؛ پس محیط و مساحت را با هم قاطی نکن.
برای اندازه گرفتن مساحت باید یک «واحد سطح» انتخاب کنیم و ببینیم چند تا از آن واحدها سطح را میپوشاند؛ اگر واحد سطح کوچکتر باشد، تعداد واحدها بیشتر میشود و اگر واحد بزرگتر باشد، تعداد واحدها کمتر میشود.
| واحد سطح | چه شکلی است؟ | چرا انتخابش مهم است؟ | نکتهی کتاب |
|---|---|---|---|
| مربع واحد | خانههای شطرنجی | شمارش معمولاً راحتتر است | در یک مستطیل شطرنجی، شمارش با مربعها از مثلث و ششضلعی راحتتر است. |
| مثلث واحد | شبکهی مثلثی | گاهی نصفواحدها زیاد میشود | در بعضی شکلها مجبور میشویم دو نیممثلث را یک واحد حساب کنیم. |
| ششضلعی واحد | شبکهی ششضلعی | برای بعضی شکلها شمارش سختتر است | عدد مساحت عوض میشود چون واحد عوض شده است، نه چون سطح عوض شده باشد. |
برای شکلهای خمیده یا شکلهایی که دقیقاً روی خانهها نمینشینند، کتاب گاهی میخواهد بگویی مساحت «بین دو عدد» است؛ یعنی از یک عدد بیشتر و از عدد بعدی کمتر است.
وقتی مربعِ واحد، مربعِ به ضلع یک سانتیمتر باشد، به آن یک سانتیمتر مربع میگوییم و مساحت را با «سانتیمتر مربع» مینویسیم.
اگر شکل دقیقاً روی خانهها باشد، مساحت برابر تعداد خانههای کامل است و اگر خانهی نیمه داشت، دو نیمه را یک خانه حساب میکنیم.
در شکلهای شطرنجی، مساحت مستطیل برابر تعداد مربعهای واحد داخل آن است؛ چون تعداد مربعها میشود «تعداد ستونها × تعداد ردیفها» پس مساحت مستطیل را با ضرب به دست میآوریم.
| شکل | فرمول ساده | مثال | اگر یک چیز را ندانیم |
|---|---|---|---|
| مستطیل | طول × عرض | \(۶×۴=۲۴\) سانتیمتر مربع | اگر مساحت و یک ضلع را داشته باشیم، ضلع دیگر با تقسیم به دست میآید: \(۴۸÷۶=۸\). |
| مربع | ضلع × ضلع | \(۴×۴=۱۶\) سانتیمتر مربع | همه ضلعها برابرند، پس فقط یک طول لازم داریم. |
چرخاندن یک مستطیل مساحت را عوض نمیکند؛ چون طول و عرض همان است و فقط جهتش فرق کرده است.
برای شکلهای پلهای یا شکلهایی که خطچین دارند، شکل را به چند مستطیل یا مربع ساده تقسیم میکنیم، مساحت هر قسمت را جدا حساب میکنیم و بعد جمع میزنیم.
در پایان فصل، مسئلههای واقعی میآید: دوردوزی و نوار دوزی (محیط)، فرش و قاب عکس (مساحت)، و تقریب محیط دایره با چندضلعی (مثل هشتضلعی و شانزدهضلعی) که نشان میدهد هرچه تعداد ضلعها بیشتر شود، تقریب دقیقتر میشود.
| موضوع | چی میخواهیم؟ | کدام است؟ | نشانهی سؤال |
|---|---|---|---|
| دوردوزی سجاده یا جانماز | طول نوار دور شکل | محیط | کلمههایی مثل «دور تا دور»، «دوردوزی»، «نوار لازم» |
| فرش یا زمین | سطح پوشش دادهشده | مساحت | کلمههایی مثل «چند متر مربع»، «سطح»، «پوشاندن» |
| قاب عکس و مقوا | سطح دیدهشده یا باقیمانده | مساحت (کم کردن دو مساحت) | کلمههایی مثل «چقدر از مقوا دیده میشود؟» |
- محیط یعنی دور شکل و با جمع طول ضلعها (یا ضرب در شکلهای همضلع) بهدست میآید.
- مساحت یعنی اندازهی سطح داخل شکل و با شمارش واحد سطح یا با فرمولهای ساده حساب میشود.
- عدد مساحت با عوض شدن واحد سطح عوض میشود، ولی خودِ سطح ثابت است.
- واحد رایج این فصل «سانتیمتر مربع» است.
- مساحت مستطیل: طول × عرض و مساحت مربع: ضلع × ضلع.
- برای شکلهای پلهای، آن را به چند مستطیل تقسیم کن و مساحتها را جمع بزن.
- ممکن است مساحت دو شکل برابر باشد ولی محیطشان برابر نباشد.